| Ausführliche Erklärung zu Extrema | Übung | Video |
Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung → f '(x) = 0
Setze diese Nullstellen in die zweite Ableitung ein → f ''(x) > 0 → TP bzw. f ''(x) < 0 → HP oder f ''(x) = 0 → SP (Sattelpunkt)
Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in f(x) ein, um die y - Koordinate des Extremas zu bestimmen.
f '(x) = 12x3 - 8x ⇒ Bestimme von der ersten Ableitung die Nullstellen
f '(x) = 12x3 - 8x = 0 | x ausklammern
x (12x2 - 8) = 0 → x1 = 0
12x2 - 8 = 0 | + 8
12x2 = 8 | : 12
x2 = 8/12 = 2/3 | √
x2 = 0,82 und x3 = -0,82 ⇒ es gibt hier zwei Lösungen wegen des Wurzelziehens!
f ''(x) = 36x2 - 8 ⇒ Setze in die zweite Ableitung die Nullstellen der ersten Ableitung ein, um zu prüfen, ob ein Maximum oder Minimum vorliegt.
f ''(0) = 36 ⋅ 02 - 8 = - 8 < 0 → HP
f ''(0,82) = 36 ⋅ 0,822 - 8 = 16,21 > 0 → TP
f ''(-0,82) = 36 ⋅ (-0,82)2 - 8 = 16,21 > 0 → TP
f(x) = 3x4 - 4x2 ⇒ Setze die Nullstellen der ersten Ableitung in f(x) ein, um jeweils die y - Koordinate zu bestimmen
f(0) = 3 ⋅ 04 - 4 ⋅ 02 = 0 → HP(0/0)
f(0,82) = 3 ⋅ 0,824 - 4 ⋅ 0,822 = -1,33 → TP(0,82/-1,33)
f(-0,82) = 3 ⋅ (-0,82)4 - 4 ⋅ (-0,82)2 = -1,33 → TP(-0,82/-1,33)