| Ausführliche Erklärung der Monotonie | Übung | Video |
Übernimm alles was im roten Kasten steht in Dein Heft
Bestimme zunächst die Punkte, an denen sich die Steigung ändert. Das ist da, wo die Steigung 0 ist → f '(x) = 0
Notiere die Intervalle. Das erste Intervall geht von - ∞ bis zur ersten Nullstelle. Das letzte Intervall geht von der letzten Nullstelle bis ∞
[-∞ ; x1]; [x1; x2] .... [xn ; ∞]
Wähle aus einem beliebigen Intervall einen beliebigen Wert und setze diesen in die erste Ableitung ein, um zu prüfen, ob die Steigung positiv oder negativ ist
Ist die Steigung > 0, dann steigt der Graph in diesem Intervall v.v.
f '(x) = 12x3 - 8x = 0 → Bestimme die Nullstellen der ersten Ableitung
f '(x) = 12x3 - 8x = 0 | x ausklammern
x (12x2 - 8) = 0 → x1 = 0
12x2 - 8 = 0 | + 8
12x2 = 8 | : 12
x2 = 8/12 = 2/3 | √
x2 = 0,82 und x3 = -0,82 ⇒ es gibt hier zwei Lösungen wegen des Wurzelziehens!
Es ergeben sich folgende Intervalle: [-∞ / -0,82]; [-0,82 / 0]; [0 / 0,82]; [0,82 / ∞]
Geschickterweise wählen wir aus dem letzen Intervall x = 1, um die Steigung in diesem Intervall zu prüfen
Setze x = 1 in die erste Ableitung ein → f '(1) = 12 ⋅ 13 - 8 ⋅ 1 = 4 ⇒ f monoton steigend
Wähle zur Probe einen beliebigen Wert aus einem Nachbarintervall und setze diesen in f '(x) ein.
Setze x = 0,5 in die erste Ableitung ein → f '(0,5) = 12 ⋅ 0,53 - 8 ⋅ 0,5 = -2,5 ⇒ f monoton fallend
[-∞ / -0,82] f monoton fallend
[-0,82 / 0] f monoton steigend
[0 / 0,82] f monoton fallend
[0,82 / ∞] f monoton steigend