1.6.1. Nullstellenberechnung der quadratischen Funktion

Nullstellen berechnet man immer, indem man f(x) = 0 berechnet. → Eine Bedinung ist also, dass auf einer Seite der Gleichung 0 steht.

Grundsätzlich kann man die Nullstellen der quadratischen Funktion mit der p - q - Formel oder mit der a - b - c - Formel berechnen. Je nach Typ wendet man geschickterweise aber andere Möglichkeiten an.

Funktion vom Typ f(x) = x² - 16

f(x) = x² - 25 ⇒ x² - 25 = 0 | + 25

x² = 25 | √

x₁ = -5; x₂ = 5 bzw. x_1/2 = ± 5

Funktion vom Typ f(x) = x² + 9x

f(x) = x² + 36x ⇒ x² + 36x = 0 | x ausklammern

x ⋅ (x + 36) = 0 ⇒ Der Satz vom Nullprodukt besagt, dass ein Produkt 0 ergibt, wenn einer der Faktoren 0 ist.

x₁ = 0 | setze für x₂ den Ausdruck in der Klammer = 0

x + 36 = 0 | - 36

x = -36

x₁ = 0; x₂ = -36

Funktion vom Typ f(x) = x² + 9x - 4

Variante 1: p - q - Formel:

f(x) = x² + 2x - 15 ⇒ x² + 2x - 15 = 0 | Löse mit der p - q - Formel → p = 2; q = -15, da f(x) = x² + px + q

x_1/2 = -p/2 ± √((p/2)² - q) = -2/2 ± √((2/2)² - (-15)) = -1 ± √(1 + 15) = -1 ± √16

x₁ = -1 - 4 = -5; x₂ = -1 + 4 = 3

Variante 2: a - b - c - Formel:

f(x) = x² + 2x - 15 ⇒ x² + 2x - 15 = 0 | Löse mit der a - b - c - Formel → a = 1; b = 2; c = -15, da f(x) = ax² + bx + c

x_1/2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a = (-2 ± √(2² - 4 ⋅ 1 ⋅ (-15))) / 2 ⋅ 1 = (-2 ± √(4 + 60)) / 2

x₁ = (-2 - 8) / 2 = -10 : 2 = -5; x₂ = (-2 + 8) / 2 = 6 : 2 = 3

Funktion vom Typ f(x) = 4x² - 6x + 4

Variante 1: p - q - Formel:

f(x) = 2x² - 2x - 24 ⇒ 2x² - 2x - 24 = 0 | Löse mit der p - q - Formel → Um die p - q - Formel anwenden zu können, muss a = 1 sein. Dividiere also alles durch 2!

x² - 1x - 12 = 0 → p = -1; q = -12

x_1/2 = -p/2 ± √((p/2)² - q) = -(-1)/2 ± √(((-1)/2)² - (-12)) = 0,5 ± √(0,25 + 12) = 0,5 ± √12,25

x₁ = 0,5 - 3,5 = -3; x₂ = 0,5 + 3,4 = 4

Variante 2: a - b - c - Formel:

f(x) = 2x² - 2x - 24 ⇒ x² + 2x - 15 = 0 | Löse mit der a - b - c - Formel → a = 2; b = -2; c = -24, da f(x) = ax² + bx + c

x_1/2 = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a = (-(-2) ± √((-2)² - 4 ⋅ 2 ⋅ (-24))) / 2 ⋅ 2 = (2 ± √(4 + 192)) / 4

x₁ = (2 - 14) / 4 = -12 : 4 = -3; x₂ = (2 + 14) / 4 = 16 : 4 = 4